A matemática por trás da amortização de empréstimos (com exemplo resolvido)

Uma tabela de empréstimo tem uma propriedade que surpreende quase todo mundo na primeira vez: todas as parcelas são idênticas, mas o que cada parcela faz muda completamente do primeiro mês para o último. Entender o porquê leva uns dez minutos de aritmética, e muda como você lê toda oferta de crédito depois disso.

O problema que a fórmula resolve

Você toma emprestado um valor P a uma taxa periódica i e quer devolver em n parcelas iguais. Quanto deve ser cada parcela?

Pequena demais e a dívida nunca fecha — o juro de cada período supera o que você paga. Grande demais e você paga a mais. Existe exatamente um valor que zera o saldo na parcela n.

Derivando

Pense em cada parcela como uma quantia entregue num ponto diferente do futuro. Uma parcela PMT paga daqui a k períodos vale PMT / (1 + i)^k hoje, porque essa quantia menor, deixada rendendo i por k períodos, cresceria até PMT.

O empréstimo se equilibra quando o valor presente das n parcelas iguala o valor emprestado:

P = PMT/(1+i)^1 + PMT/(1+i)^2 + ... + PMT/(1+i)^n

Coloque PMT em evidência e você tem uma progressão geométrica de razão 1/(1+i). A soma dela colapsa numa forma fechada:

P = PMT * (1 - (1+i)^-n) / i

Rearranjando para a parcela:

PMT = P * i / (1 - (1+i)^-n)

É isso. Toda tabela de amortização do mundo é essa linha mais escrituração.

Um exemplo resolvido

Empreste 10.000 a 1% ao mês por 12 meses.

PMT = 10000 * 0,01 / (1 - 1,01^-12)
    = 100 / (1 - 0,887449)
    = 100 / 0,112551
    = 888,49

Doze parcelas de 888,49 somam 10.661,85, então o empréstimo custa 661,85 de juros.

Agora veja o que cada parcela faz. O juro é sempre cobrado sobre o saldo devedor atual, então é recalculado todo mês:

mês   parcela   juros  principal    saldo
  1    888,49  100,00     788,49  9.211,51
  2    888,49   92,12     796,37  8.415,14
  3    888,49   84,15     804,34  7.610,80
  ...
 11    888,49   17,51     870,98    879,69
 12    888,49    8,80     879,69      0,00

A parcela nunca muda. A composição muda, continuamente: o juro cai porque o saldo cai, e a fatia de principal absorve exatamente o que o juro larga. Esse é o mecanismo por trás de toda a tabela.

Por que prazo longo dá sensação de pagar por nada

No exemplo de doze meses acima, o juro é 11,3% da primeira parcela. Em prazo curto e taxa moderada, a divisão nunca é dramática.

Estique o prazo e ela fica dramática. Num financiamento de 30 anos a 9% ao ano, a primeira parcela é esmagadoramente juro, e o cruzamento — o mês em que a fatia de principal finalmente supera a de juros — chega depois da metade do contrato. Saia no ano três e você pagou muito dinheiro e reduziu muito pouco a dívida. Nada de impróprio aconteceu; é aritmética. Juro incide sobre o que você ainda deve, e no ano três você ainda deve quase tudo.

É também por isso que o custo total sobe tão rápido com o prazo. Mesmos 200.000 a 9% ao ano:

• 10 anos — 2.534 por mês, 104.022 de juros
• 20 anos — 1.799 por mês, 231.868 de juros
• 30 anos — 1.609 por mês, 379.328 de juros

Ir de vinte para trinta anos economiza cerca de 190 por mês e custa cerca de 147.000. Isso ainda pode ser a decisão certa para o fluxo de caixa de uma família. Só precisa ser uma decisão, não um padrão escolhido porque a parcela coube no orçamento. Rodar as duas lado a lado leva segundos e a diferença raramente é a que as pessoas esperam.

O que amortizar realmente faz

Um pagamento extra pode ser aplicado de duas formas, e elas não são equivalentes:

• Abatendo o principal. O saldo cai imediatamente. Todo juro seguinte é calculado sobre um número menor, então a economia se compõe pelo resto do prazo.
• Quitando parcelas futuras. Você pagou a conta do mês que vem adiantado. O saldo segue o cronograma original e você economiza quase nada.

Os bancos nem sempre assumem a primeira opção. Sempre que amortizar, declare explicitamente que é para abater o principal, e confirme depois que o prazo foi encurtado ou a parcela recalculada. A diferença ao longo de um contrato longo chega à casa das dezenas de milhares.

Nominal contra efetiva

Mais uma armadilha, porque ela decide qual oferta é de fato mais barata.

Uma taxa anunciada como 12% ao ano, com capitalização mensal, não é 12% ao ano. Cada mês cobra 1%, e doze meses disso compõem em:

(1 + 0,01)^12 - 1 = 0,1268 = 12,68%

Esses 12,68% são a taxa efetiva anual. Quanto mais vezes o juro é capitalizado, mais a taxa efetiva se afasta da nominal do cartaz. Ao comparar ofertas, compare a mesma coisa — ou ambas efetivas, ou ambas nominais com a mesma frequência de capitalização. A mesma aritmética joga a seu favor quando você está poupando em vez de tomando emprestado, que é todo o ponto de uma projeção de juros compostos.

Lendo uma tabela com olhar crítico

Três perguntas que valem para qualquer tabela de amortização:

1. Qual é o total pago? Não a parcela. A soma.
2. O que há na parcela além de principal e juros? Tarifa de abertura e seguros obrigatórios são comumente financiados junto ao saldo, o que significa que você paga juro sobre eles também. Um empréstimo com taxa menor e tarifas maiores pode custar mais.
3. Quando acontece o cruzamento? Se a fatia de principal só supera a de juros no ano 17 de um contrato de 30, agora você sabe o que sair antes custa.

Nada disso exige formação em finanças. Exige uma fórmula e a disposição de olhar o total em vez da prestação.